首先我們承認選擇公理

(資料圖)

思考這樣一個區間套

然后我把? 拆成兩個區間?

有那么一個對應規則讓我從??選擇一個生成

然后我又有一個對應規則? 讓我可以從上面任意一個區間里面去取一個實數，那么? 是否存在呢?

答案顯然是的

證明如下：

首先區間的長度?

是的子集，從取一個數也相當于從?中取一個數 兩個數的距離肯定小于?的區間長度所以有

同理往下推有

拓展到? 再運用三角不等式得到

所以是一個柯西序列 因此?

有了上述結論，我們可以去證一些比較難證明的結論，例如

閉區間上的連續函數有界

我們用反證法，假設在上連續而且沒有上界，那么我們把劃分成兩個區間

因為在沒有上界，所以其中也一定有一個，使得沒有上界

以此類推 我們就得到了一個區間套

把二等分，選擇一個沒有上界的區間

我們再定義??因為 是沒有上界的 所以可以這樣定義

于是我們構造出了一個點?

但是 這就矛盾了

實數集合的上確界定理

假設是一個非空的連通集，并且? 有上界?，我們在 中任取一個元素?

下面開始構造區間套

我們把? 二等分為? 和?

如果? 我們取?

否則我們取?

于是這個區間套有這么一個性質?

如果??那么??而且 是??的上界 證明很簡單這里就不證明了

我們取

說人話就是?? 分別取區間的左端和右端

于是

這個? 就是上確界了

因為 都是上界

都屬于集合?所以一定小于等于所有的上界

所以又是上界又小于等于所有的上界

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